LA STORIA DELLA TRIGONOMETRIA: CLAUDIO TOLOMEO
LA TRIGONOMETRIA E LA GONIOMETRIA
-La trigonometria, con la goniometria, è quella parte della matematica che studia le funzioni trigonometriche e mette in relazione la geometria piana con l'analisi matematica. In particolare, la trigonometria(dal greco τρίγωνον (trígonon, triangolo) -μέτρον (métron, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli e calcola le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di funzioni particolari. Invece la goniometria (dal greco γωνία' (gonia: angolo) e μέτρον,(metron: misura)),è lo studio delle funzioni trigonometriche degli angoli, messi in relazione agli archi associati ad essi.
-La trigonometria, con la goniometria, è quella parte della matematica che studia le funzioni trigonometriche e mette in relazione la geometria piana con l'analisi matematica. In particolare, la trigonometria(dal greco τρίγωνον (trígonon, triangolo) -μέτρον (métron, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli e calcola le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di funzioni particolari. Invece la goniometria (dal greco γωνία' (gonia: angolo) e μέτρον,(metron: misura)),è lo studio delle funzioni trigonometriche degli angoli, messi in relazione agli archi associati ad essi.
L'angolo è la parte del piano individuata da due semirette a e b che hanno origine comune nel punto V, che è il vertice dell'angolo. Le semirette a e b sono i lati.
Le unità di misura per gli angoli più usate sono il grado sessagesimale, definito come la 360^ parte dell'angolo giro, e il radiante, definito come l'angolo al centro che insiste su un arco do lunghezza uguale al raggio.
La circonferenza goniometrica o trigonometrica, invece, è una circonferenza di raggio unitario (ossia di raggio pari a 1) situata nel piano cartesiano e con centro nell'origine degli assi. La circonferenza goniometrica è fondamentale per le funzioni goniometriche.
La circonferenza goniometrica o trigonometrica, invece, è una circonferenza di raggio unitario (ossia di raggio pari a 1) situata nel piano cartesiano e con centro nell'origine degli assi. La circonferenza goniometrica è fondamentale per le funzioni goniometriche.
CLAUDIO TOLOMEO
Claudio Tolomeo (gr. Κλαυδίος Πτολεμαῖος; lat. Claudius Ptolemaeus),
fu un grande astronomo e matematico. Nato nel 100 d.C. probabilmente Tolemaide d'Egitto, fiorì ad Alessandria in epoca Antoniana (ca.138-178 ); morì 170 d.C. Inserito in un centro culturale di grande
importanza come Alessandria, raccolse l'eredità di tutto quanto era
stato fatto prima, e a sua volta poté esercitare un'influenza
capitale sui secoli successivi. Della sua vita conosciamo solo ciò
che si può ricavare dalle sue opere.
La sua opera più importante è il trattato noto abitualmente con il nome di Almagesto, scritto intorno al 150 d.C. nel quale Tolomeo dà i mezzi matematici di calcolo necessari ed espone le teorie astronomiche del tempo, basandosi principalmente sulle osservazioni di Ipparco. Il titolo originale era "Μεγάλη μαθηματική σύνταξις τῆς αστρονομίας". Il superlativo greco μεγίστης, che sostituì il μεγάλη nel titolo originario, finì per denominare l'opera che, diffusa dagli Arabi e acquisendo l'articolo arabo, restò denominata al-Magisti, diventando attraverso i traduttori latini medievali Almagesto. Il trattato si compone di tredici libri : principî e trigonometria sferica, sfera celeste, moti del Sole, moti della Luna, distanza Sole-Terra-Luna, eclissi, catalogo di stelle, Via Lattea, teoria dei pianeti. Dopo un'introduzione di carattere filosofico, in cui si argomenta a favore dell'immobilità della Terra, il nucleo centrale del trattato è costituito dalla descrizione matematica del moto del Sole, della Luna e dei cinque pianeti allora conosciuti. Per il moto di ciascun astro è sviluppata una particolare teoria, in grado di descrivere e prevedere con notevole precisione i moti osservabili. Per ottenere questo risultato Tolomeo combina l'ingrediente essenziale, costituito dalla considerazione di moti circolari uniformi, con tre possibili varianti (usate o meno in modo diverso per ciascun astro):
La sua opera più importante è il trattato noto abitualmente con il nome di Almagesto, scritto intorno al 150 d.C. nel quale Tolomeo dà i mezzi matematici di calcolo necessari ed espone le teorie astronomiche del tempo, basandosi principalmente sulle osservazioni di Ipparco. Il titolo originale era "Μεγάλη μαθηματική σύνταξις τῆς αστρονομίας". Il superlativo greco μεγίστης, che sostituì il μεγάλη nel titolo originario, finì per denominare l'opera che, diffusa dagli Arabi e acquisendo l'articolo arabo, restò denominata al-Magisti, diventando attraverso i traduttori latini medievali Almagesto. Il trattato si compone di tredici libri : principî e trigonometria sferica, sfera celeste, moti del Sole, moti della Luna, distanza Sole-Terra-Luna, eclissi, catalogo di stelle, Via Lattea, teoria dei pianeti. Dopo un'introduzione di carattere filosofico, in cui si argomenta a favore dell'immobilità della Terra, il nucleo centrale del trattato è costituito dalla descrizione matematica del moto del Sole, della Luna e dei cinque pianeti allora conosciuti. Per il moto di ciascun astro è sviluppata una particolare teoria, in grado di descrivere e prevedere con notevole precisione i moti osservabili. Per ottenere questo risultato Tolomeo combina l'ingrediente essenziale, costituito dalla considerazione di moti circolari uniformi, con tre possibili varianti (usate o meno in modo diverso per ciascun astro):
- eccentrici: ossia moti circolari con orbite centrate non nella Terra ma in un punto diverso.
- equanti: a volte il moto circolare non è uniforme, ma ha velocità angolare costante rispetto ad un punto equante diverso dal centro dell'orbita.
- epicicli: il moto circolare può avvenire non intorno alla Terra, ma intorno ad un punto che a sua volta percorre un moto circolare intorno alla Terra.
Il
trattato sviluppa anche argomenti di geometria e di trigonometria
preliminari alla trattazione astronomica vera e propria nel primo
libro. In questo libro infatti compare il teorema detto appunto “di
Tolomeo”; esso
stabilisce
la relazione fra i lati e le diagonali di un quadrilatero
ciclico,
ovvero un quadrilatero inscritto in
una circonferenza.
L'enunciato afferma:
L'enunciato afferma:
Dato
un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza, vale la seguente
relazione:
o,
a parole :se Un
quadrilatero è inscritto in una circonferenza, la
somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto
delle sue diagonali. È anche vero il viceversa, ossia: Se in
quadrilatero la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è
uguale al prodotto delle sue diagonali, allora il quadrilatero può
essere inscritto in una circonferenza.
Segue la dimostrazione:
- Sia ABCD un quadrilatero ciclico.
- Si determini sulla diagonale AC il punto E, tale che l'angolo AEB sia congruente con l'angolo BCD.
- Osservando il disegno centrale, a destra, si vede che i triangoli AEB (giallo) e BCD (viola) sono simili; infatti gli angoli in C e in E sono uguali per costruzione, mentre gli angoli in A e D sono uguali in quanto angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda BC. Di conseguenza, valgono le relazioni:
Nelle sue tavole Tolomeo riuscì a calcolare le corde di un cerchio corrispondenti agli angoli al centro per tutti i valori da 0° a 180° con un passo di ½ grado e per certi versi è equivalente ad una moderna tavola dei seni. Per realizzare la tavola, Tolomeo considerò un cerchio di diametro pari a 120 unità e iniziò a calcolare la lunghezza di alcune corde particolari corrispondenti ai lati di poligoni regolari iscritti nel cerchio: il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono, l‟esagono e il decagono. Per calcolare le rimanenti corde Tolomeo procedette applicando diversi teoremi oggi noti in trigonometria. Questi teoremi corrispondono alle odierne formule trigonometriche di somma, sottrazione e bisezione equivalenti a sin(α + β) e cos(α + β). Tolomeo ricavò l'equivalente della formula di bisezione sin2(α/2) = (1 − cosα)/2, e stilò una tabella dei suoi risultati.
SITOGRAFIA E BIBLIOGRAFIA
- Enciclopedia UTET
- Libro "Matematica.azzurro" (Zanichelli)
- https://it.wikipedia.org/wiki/Claudio_Tolomeo
- https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Tolomeo
Lavoro di Sofia Grilli, II B.
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