STORIA DELLA TRIGONOMETRIA

Dal lat. trigonum, gr. trigonon (triangolo) e –metria (misurazione).

La trigonometria piana è una branca della matematica che si occupa di stabilire le relazioni che intercorrono tra i lati e gli angoli dei triangoli piani.

I calcoli di tipo trigonometrico possono poi essere utilizzati anche per risolvere gli elementi geometrici di poligoni con più di tre lati e sono frequentemente applicati in molti rami della matematica.

Si parla invece di trigonometria sferica quando ci si occupa delle relazioni tra i lati e gli angoli di triangoli sferici. Per triangolo sferico si intende una figura geometrica costruita sulla sfera delimitata da tre archi di cerchio massimo, cioè da cerchi sulla sfera che abbiano raggio pari a quello della sfera. Le relazioni tra angoli e lati dei triangoli, siano essi piani o sferici, sono definite con l’ausilio di particolari funzioni, dette funzioni goniometriche o trigonometriche.

Le quattro funzioni trigonometriche fondamentali di un dato angolo α sono:

• il seno (sen α),
• il coseno (cos α),
• la tangente (tan α),
• la cotangente (cot α).

Con riferimento alla circonferenza di raggio unitario riportata in figura e considerando angoli in senso antiorario a partire dall’asse delle ascisse, il sen α è rappresentato dall’ordinata del punto P appartenente alla circonferenza mentre il cos α è l’ascissa dello stesso punto. Sempre con riferimento alla figura, la tan α è l’ordinata del punto P’. Tale punto è individuato dall’intersezione della retta uscente dall’origine con angolo di inclinazione α sull’asse delle ascisse con la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto di ascissa uno. Con una costruzione analoga si arriva a definire cot α come ascissa del punto P’’.

Le relazioni fondamentali tra le funzioni trigonometriche sono:

1. seno e coseno legato fra loro permettendo la trasformazione di l’uno nell’altro;
2. la relazione fra seno e coseno con la tangente.

                                                           JAMES GREGORY 

James Gregory fu un matematico ed un astronomo scozzese. Nacque a Drumoak nel 1638 e morì ad Edimburgo nel 1675.

Dopo aver appreso le prime nozioni di geometria dalla madre, a 13 anni legge con facilità gli Elementi di Euclide. Studia all'Università di Aberdeen e si dedica all'ottica scrivendo un libro dal titolo Optica Promota nel quale sviluppa la teoria dell'ottica e il progetto di un nuovo tipo di telescopio, il telescopio a riflessione ; questo tipo di telescopio in seguito sarà chiamato telescopio gregoriano. Nel 1663 si trasferisce a Londra dove diventa amico di Collins e fa pubblicare il suo libro. 

Dal 1664 al 1668 si reca in Italia e soggiorna gran parte del tempo all'Università di Padova, dove entra in contatto con Stefano Angeli dal quale apprende come trattare gli sviluppi in serie delle funzioni. Prima di lasciare Padova pubblica la Geometriae pars universalis,  che viene considerato il primo tentativo di un testo sul calcolo infinitesimale. In questo libro è avanzata l'idea che la differenziazione sia l'operazione inversa della quadratura. Queste idee, e molte altre,  sul calcolo infinitesimale saranno sviluppate da Gregory, indipendentemente dagli studi effettuati sullo stesso argomento da Newton. Nell'estate del 1668 risiede a Londra e da qui entra in polemica con Huygens, che critica il suo lavoro sul calcolo infinitesimale. Dopo questa polemica diventa riluttante a pubblicare i suoi risultati e, in particolare, rinuncerà a pubblicare risultati che anche Newton otterrà. Solo lo studio della sua corrispondenza con Collins ha consentito di individuare una impressionante serie di scoperte anticipatrici.

Nello stesso anno, per merito di Robert Moray, Gregory entra  nella Royal Society ed  ottiene da Carlo II di Inghilterra  l'istituzione di una cattedra regia di matematica all'Univesità Saint Andrew a lui destinata. Qui trova un ambiente poco ricettivo, ma riesce a lavorare con brillanti risultati. Dopo aver ricevuto il libro Lectiones Geometricae di Barrow è in grado di ottenere risultati matematici più avanzati. Inoltre, da una penna di uccello ricavò il primo reticolo a diffrazione e compì vari studi astronomici, effettuando, in particolare,  osservazioni su un'eclissi della Luna, in collaborazione con astronomi di Parigi.

Tra le scoperte di Gregory, a lungo sconosciute, vanno ricordate: la formula dell'interpolazione e il teorema binomiale , teorizzati prima di Newton; il teorema di Taylor, individuato nel 1671 (Taylor lo pubblicherà solo nel 1715); la risoluzione del problema di Keplero sulla divisione di un semicerchio con un segmento per un punto dato del diametro, mediante applicazione della serie di Taylor e servendosi del criterio del rapporto per la convergenza delle serie trovato poi da Cauchy; definizione di integrale con la generalità reggiunta successivamente da Riemann; comprensione della totalità delle soluzioni delle equazioni differenziali, soluzioni singolari incluse; avvio dei tentativi di dimostrare la trascendenza di  e di π; sospetto che le equazioni di grado superiore al quarto non possano essere risolte per radicali.

IL CONTRIBUTO DI GREGORY ALLA MATEMATICA E ALLA SCIENZA

Gregory rappresenta una personalità importantissima nella storia del progresso scientifico del 1600 in quanto, come già è stato citato sopra, ha compiuto importanti scoperte.

In primo luogo ricordiamo il telescopio gregoriariano.

Si tratta di un modello di telescopio a riflessione, detto anche gregoriano dal nome del suo inventore.Un treppiede in ottone sostiene una colonnina sul quale è incernierato il telescopio in cuoio e ottone. La parte anteriore del telescopio è aperta, mentre nella parte posteriore era in origine posizionato uno specchio concavo, detto specchio primario, ora perduto. In corrispondenza del foro centrale dello specchio è avvitato un tubo contenente un oculare composto da due lenti

All’interno del telescopio, in coincidenza con l’asse ottico, era posizionato un altro specchio concavo, detto specchio secondario, che era possibile muovere tramite una piccola asta in ottone collocata parallelamente al tubo. Anche lo specchio secondario è ora mancante.

I raggi di luce entravano all’interno del telescopio e venivano riflessi dallo specchio primario, che li inviava sullo specchio secondario. Quest’ultimo li rinviava poi all’oculare. In questo modo, l’immagine fornita era diritta e il telescopio poteva essere utilizzato anche per le osservazioni terrestri oltre che per quelle celesti.

 Video spiegazione :

https://www.youtube.com/watch?v=vjhZa4GjDas

La seconda importante scoperta portata avanti da Gregory è stata quella sul reticolo di diffrazione. Come sappiamo, una delle proprietà della luce è quella di propagarsi in linea retta; tuttavia, vi sono delle condizioni che fanno si che questa proprietà venga a cadere.

Quando un fascio di luce è proiettato all’interno di una fenditura, se lo spazio è molto largo, sullo schermo di proiezione appare una striscia di luce ben definita; il confine tra di essa e la zona d’ombra è netto e ben marcato.

Mano a mano, però, che si restringe lo spazio della fenditura, ed essa diventa sempre più sottile, la luce proiettata sullo schermo si allarga sempre di più, invadendo lo spazio della zona d’ombra; si può notare, infatti, che ai lati della fascia luminosa centrale si formano altre frange luminose che si alternano a piccole zone di ombra.

Questo fenomeno viene definito diffrazione della luce, ed è un fenomeno proprio delle onde; il fascio di luce originario viene quindi allargato sullo schermo di proiezione, e l’effetto delle bande luminose è dovuto a fenomeni di interferenza caratterizzati da una serie di massimi di intensità luminosa decrescente.

In particolare, la banda centrale, quella più luminosa, si ha in prossimità di quello che si definisce massimo principale, mentre le altre bande laterali sono originate dai massimi secondari.

Nel caso in cui le fenditure praticate sullo schermo siano molto sottili e spaziate in maniera regolare si parla di reticolo di diffrazione; in particolare, la distanza tre due fenditure successive si dice passo reticolare.

I raggi che escono dalle fenditure con gli stessi angoli di inclinazione sono in fase tra di loro; tali angoli danno luogo a frange chiare di interferenza, e possono essere individuati 

sin (α_k) = k *λ/d    ,    k = 1, 2, 3, ….

dove d indica la distanza reticolare, e k è un numero naturale.

L’angolo di inclinazione, quindi, varia in base alla lunghezza d’onda delle onde che stiamo considerando; di conseguenza, per onde diverse, i massimi di luminosità avranno angoli diversi.

Questa proprietà può essere sfruttata per utilizzare i reticoli di diffrazione allo stesso modo dei prismi; infatti anche nei reticoli si ha una separazione dei colori della luce, in quanto ogni colore è caratterizzato a una lunghezza d’onda diversa, e presenta quindi angoli luminosi diversi.

Successivamente la sua scoperta principale, legata all'ambito della trigonometria, fu la serie di Gregory.

In matematica, un numero di Gregory è un numero reale nella forma

${\displaystyle G_{x}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {1}{(2i+1)x^{2i+1}}}}$

dove x è un numero razionale  maggiore o uguale a 1, e prende il nome dal matematico scozzese James Gregory

Considerando l'espansione della serie di potenze per l'arcotangente, si ha che:

${\displaystyle G_{x}=\arctan {\frac {1}{x}}.}$

e scegliendo x = 1, si ha la ben nota formula di Laibniz convergente a pigrego

In particolare

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1}$

è un numero di Gregory.

Gregoryinoltre diede un importante contributo allo studio degli integrali in matematica, fornendo la prima versione del Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Il teorema fondamentale del calcolo stabilisce un’importante connessione tra i concetti di integrale e derivata per funzioni a valori reali di variabile reale. La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo, e garantisce l’esistenza della primitiva per funzioni continue. La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo, e consente di calcolare l’integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive. Una prima versione del teorema è dovuta appunto a James Gregory, mentre Isaac Barrow ne fornì una versione più generale. Isaac Newton, studente di Barrow, e Gottfried Leibniz completarono successivamente lo sviluppo della teoria matematica in cui è ambientato il teorema.

Link spiegazione evoluzione dei calcoli integrali:

https://digilander.libero.it/leo723/materiali/analisi/esaustione_indivisibili.pdf

SITOGRAFIA E BIBLIOGRAFIA

• Wikipedia, enciclopedia libera
• Teknoring,TRIGONIOMETRIA 
• Treccani, Enciclopedia 

Elena Ferretti