Goniometria e trigonometria Islamica

La goniometria è la branca della matematica che si occupa di studiare la misura degli angoli e delle funzioni associate.

La trigonimetria (dal greco trìgonon, triangolo, e mètron, misura) è la branca della matematica che si occupa di stabilire le relazioni tra la lunghezza dei lati e l'ampiezza di triangoli piani nella trigonometria piana, e di triangoli sferici nella trigonometria sferica. Le relazioni fra triangoli e lati sono costutite come nella goniometria da funzioni. Le funzioni di un'ipotetico angolo "α" sono tre:

• il seno;
• il coseno;
• la tangente e la sua inversa, la cotangente.

 Una delle culture a portare innovazioni significative, storicamente parlando, allo studio della goniometria e della trigonometria, fu quella araba, grazie alsuo innato interesse per lo studio delle scienze, in particolare dell'astronomia, che ha lasciato spazio allo sviluppo di grandi teorie matematiche. Gli scienziati arabi portarono avanti studi a partire da fonti provenienti dalla Grecia, grazie all'emigrazione di molti dotti dall'accademia platonica, chiusa da Giustiniano nel 529 d.C., verso la Persia, dove la cultura greca si inserì perfettamente in quella araba grazie anche si numerosi contatti che i califfi arabi ebbero con l'Impero Bizantino e la loro successiva conquista dell'Egitto. L'Impero Arabo comprendeva dunque l'Egitto, la Persia, la Siria fino a toccare l'India ad est, gli studiosi arabi ebbero quindi accesso oltre che a manoscritti greco-bizantini anche a studi di natura scientifica in lingua indiana ed ebraica, che puntualmente tradussero e svilupparono.  Fino al 1300 la civiltà araba dette prova di un notevole dinamismo e rispetto dei popoli e delle culture con cui venivano in contatto.

La goniometria e la trigonometria arabe

La trigonometria araba, come quella hindu, non è geometrica come quella doi Ipparco e Tolomeo, bensì aritmetica, per esempio, per calcolare un coseno a partire dal seno si servivano dell'identità fondamentale sin2 A+cos2 A = 1 e di passaggi algebrici. Inoltre usavano i seni degli archi piuttosto
che le corde del doppio degli archi, anche se il numero delle unità nel seno o nella semicorda dipende dal numero di unità scelte per il raggio; questa innovazione è stata introdotta dagli astronomi Tabit ibn Qurra e al-Battani. Furono sempre gli astronomi ad introdurre il concetto di tangente e cotangente, che compaiono per la prima volta prorpio in un'opera di al-Battani.

Abu-l-Wafa introdusse in un'opera, sempre di astronomia, la secante e la cosecante come lunghezze e calcolò pure delle tavole di seni e di tangenti per angoli che di fferiscono fra loro di 10 minuti primi.

Al-Biruni diede invece dimostrazione del teorema dei seni per i triangoli piani, teorema conosciuto oggi anche come come Teorema di Eulero.

In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.
Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.

${\displaystyle a={\overline {BC}},~~\alpha =C{\hat {A}}B}$

${\displaystyle b={\overline {AC}},~~\beta =A{\hat {B}}C}$

${\displaystyle c={\overline {AB}},~~\gamma =B{\hat {C}}A}$

Vale quindi

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R}$

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ 

 La sistematizzazione della trigonometria in un'opera indipendente dall'astronomia venne portata a termine da Nasir ad-Din at-Tusi (1201-1274), nel suo Trattato sul quadrilatero che nvenne scoperto dalla civiltà occidentale solo nel 1450 circa. Fino ad allora la trigonometria era rimasta solo un'appendice dell'astronomia.

Andano più nello specifico, vediamo come una delle prime opere di trigonometria arabe fu scritta a Bagdhad da al-Khuwarizmi (790-850 circa). L'unica cosa che fu inserita alle tavole (1) contenute nell'opera furono quelle della tangente e la cotangente, già però conosciute nella Casa del Sapere, epicentro dello studio delle scienze arabo, da Habash al-Hasib, ovvero "il calcolatore ".
La tangente e la cotangente inizialmente non sono apparse come linee legate alla circonferenza ma sono state utilizzate nella gnomonica per il confronto di lati di un triangolo rettangolo.
Studiando il caso di uno gnomone orizzontale (3) fissato verticalmente Habash al-Hasib
ha inventato una tavola di ombre inverse , ovvero dei valori della tangente (t = h tanα = tanα).
Anche se in seguito verranno usati i rapporti dei valori di seno e coseno invece di quelli della tangente e cotangente, numerosi matematici potranno giungere a nuovi risultati grazie all'esistenza di tavole di tangenti e cotangenti.
Già in Habas l'utilizzo della tangente e della cotangente non si limitò alla gnomonica, infatti ha anche de nito la relazione tra l'ascensione in linea retta del sole , la declinazione 6 e l'inclinazione " δ" dell'eclittica con la seguente formula: sinα = tanδ cotε .

(1) Tavole astronomiche di al-Khuwarzmi

(2,3) Esempi di gnomoni, il primo verticale, il secondo uno schema babilonese di gnomone orizzontale

I due astronomi sopracitati usarono la misura della corda insieme a quella del seno e del coseno, come molti altri, per molto tempo, ma piano piano iniziò ad essere preferito l'uso delle grandezze trigonometriche.

è con l'astronomo e matematico Abu Abdallah Muhammad ibn Gabir al-Battani che viene sviluppata ed ampliata una teoria di queste grandezze.

Al-Battani

Originario di Harran, faceva parte della setta dei Sabei ed esercitò la sua professione a Raqqa. Nella sua opera minore, La Revisione dell'Almagesto, fa uso di tutte le grandezze trigonometriche.
Poichè il coseno di un angolo si considera come il seno di un angolo complementare e i numeri negativi non si utilizzano, il seno verso di un angolo α del secondo quadrante è de finito non per una differenza ma per una somma r + r sin (α=90 ).
Cito di seguito le relazioni che legano le grandeze trigonometriche analizzate da Al-Battani:
 

 Abu-l-Wafa

Abu-l-Wafa migliora ulteriormente la sistematizzazione degli elementi di trigonometria nella sua opera, anche questa astronomica, chiamata Il libron perfetto la quale prefazione è citata di seguito:

"In questo libro abbiamo aperto una via che nessuno dei nostri antenati aveva aff rontato prima di noi; abbiamo evitato i metodi noti quando il loro utilizzo si è rivelato di fficile
per gli studiosi, si veda per esempio il metodo del quadrilatero o la regola delle sei grandezze. Abbiamo anche introdotto parecchie proposizioni di cui i Greci non avevano parlato. Abbiamo calcolato le tavole con la più grande cura"

Notiamo nell'opera che Abu-l-Wafa definisce tutte le grandezze trigonometriche in funzione della circonferenza, ad esempio, la tangente non è definita attraverso un triangolo rettangolo ma piuttosto come una retta situata sulla tangente di una circonferenza. Aggiunge dunque la seguente relazione:

 Talvolta, fornisce anche delle regole della trigonometria delle corde:

I matemarici islamici hanno però spesso risolto i triangoli piani con mezzi molto rudimentali, per esempio spesso i triangoli non rettangoli venivano analizzati dividendoli in due triangoli rettangoli:

Più avanti, Al-Battani calcola il terzo lato iniziando dall'altezza AH e dal lato CH, ottiene poi la lunghezza HB a partire dai valori di AB e AH applicando il teorema di Pitagora e poi il valore del lato a = CH+HB. Ovviamente al-Battani non conosceva il teorema dei seni per i triangoli piani. È stato Abu Nasr Mansur ibn Ali ibn Iraq, uno dei traduttori delle Sfere di Menelao ad aver dimostrato questa proposizione. Il suo allievo al-Biruni e altri ancora l'hanno dimostrata dopo di lui.

Si pensava di non poter sempre costruire un triangolo di cui si conoscono due lati e l'angolo opposto a uno di essi. Invece questa costruzione è possibile, possono esistere una o due soluzioni. È quello che dimostrerà poi Gabir ibn A ah intorno al dodicesimo secolo.

Anche nel caso di un triangolo di cui si conoscono due lati e l'angolo compreso tra essi si riconduce tutto ai triangoli rettangoli; si calcolavano i segmenti generati su un lato dall'altezza alzata su questo lato, poi si misurava l'altezza. Con l'aiuto del triangolo rettangolo si calcolava poi il terzo lato e gli altri due angoli. Per conoscere gli angoli di un triangolo di cui sono dati i tre lati, si elevava un'altezza su un lato qualunque e si calcolava; dopo la proposizione di Euclide sul quadrato di un lato opposto un angolo acuto o a un angolo ottuso, i segmenti si determinavano dai piedi dell'altezza. Non viene usata quindi la seguente formula: a2 = b2 + c2 - 2bc cos α , sfuggita agli studiosi islamici, contenuta in una proposizione euclidea.

Solamente molto più tardi al-Kashi (1390-1450 circa) ha espresso il teorema sul quadrato di un lato in funzione dei lati b e c dell'angolo nella forma: a2 = (b c cos )2 + c2 sin2 α. Basta quindi sviluppare il membro di destra della precedente equazione per trovare la formula usuale del coseno.

Il numero delle formule trigonometriche era comunque relativamente ristretto, al-Kashi per esempio volendo calcolare l'area del triangolo da la formula del calcolo del cerchio inscritto:

Subito in seguito indica così la formula per calcolare l'area del triangolo, moltiplicando cioè il raggio del cerchio inscritto per la metà del perimetro:

Tuttavia, in sintesi, al-Kashi non enuncia nessuna regola particolare che permette di calcolare l'area di un triangolo di cui si conoscono due lati e l'angolo compreso tra quest'ultimi, per avere una formula bisognerà aspettare Snell nel 1600.

Grazie ad Abu-l-Hassan Ali ibn Abi Sa id Abdel Rahman ibn Ahmad ibn Yunis troviamo la relazione equivalente alla formula cosα  cos β = 1/2[cos( α + β ) + cos( α - β )] stabilita con la proiezione ortogonale. In seguito questa stessa formula servirà a mettere sotto forma logaritmica la somma di due coseni o di due seni.

Ibn al-Gayyani, che determinò per primo l'altezza dell'atmosfera, ci fornisce un esempio di trigonometria applicata allo studio delle scienze naturali. La determinazione spiegata nel disegno che segue si poggia sul principio che il crepuscolo si prolunga purchè il sole non si abbassi di più di 19° al di sotto dell'orizzonte. Sia N una nuvola alta che verso la ne del crepuscolo ri flette verso l'osservatore M il raggio SN del Sole.

L'angolo che il raggio forma con l'orizzonte è α = 19° . Secondo la legge della ri essione LNO = MNO. Nel triangolo rettangolo OMN, l'angolo MNO è allora uguale a 80° 30' e si ottiene per l'altezza dell'atmosfera:

 

Nonostante la novità di questo studio, esso è comunque molto lontano dalla realtà poichè non tiene conto della riflessione dei raggi luminosi.

Al-Kashi

Al-Kashi, matematico e astronomo persiano del XV secolo, sviluppò, oltre alle teorie soprecitate, anche un metodo per il calcolo approssimativo del seno di 1° basato sulla formula dà il seno di
3α in termini del seno di α:

 

Per α=1°, posto x=sin1° la relazione precedente diventa:

 

Posto α=sin3° si tratta di risolvere l'equazione cubica:

 Se x è piccolo allora 4x3 si può trascurare e dunque:

                                                                                                                          Martina Vitali


Bibliografia e sitografia:

• Un approccio alla trigonometria attraverso un percorso storico, Alessandra Fiocca;
• La trigonometria nella civiltà araba, Proff.ssa Fiocca, Belloni, Menardo
• Wikipedia
• Pannello 21, le matematiche arabe
• Enciclopedia Treccani