La trigonometria e Georg Joachim Rheticus (Retico)

LA TRIGONOMETRIA E GEORG JOACHIM RHETICUS 

La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni.

Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica. Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.  

Le origini

Per molti secoli, la trigonometria dovette i suoi progressi quasi esclusivamente all'opera di grandi astronomi e geografi. Infatti, la fondazione di questa scienza si deve a Ipparco di Nicea e a Claudio Tolomeo, entrambi più astronomi e geografi che matematici. Contributi notevoli furono apportati a questa scienza dagli arabi, dal francese Levi ben Gershon e, successivamente, da Niccolò Copernico e Tycho Brahe, intenti a descrivere e a prevedere con sempre maggior precisione i fenomeni celesti, anche per un più esatto e comodo calcolo di longitudini e latitudini. 

Georg Joachim Rheticus 

 Georg Joachim Rheticus o Retico (Feldkirch, 16 febbraio 1514 – Kaschau, 4 dicembre 1574) è stato

un matematico e astronomo austriaco. 

 Biografia 

Nacque da Georg Jserin e Tommasina de Porris, italiana. Suo padre, un medico accusato di stregoneria e di appropriazione di beni dei propri clienti, nel 1528 venne giustiziato e la sua famiglia dovette abbandonare il suo cognome. Retico, così, assunse il cognome della madre. 

Si laureò Magister artium a 22 anni all'Università di Wittenberg e l'anno successivo, nel 1536, vi ottenne una cattedra di astronomia e matematica, durante lo scatenarsi della Riforma protestante, grazie all'apporto e la fiducia di Filippo Melantone. Tra i 22 ed i 24 anni viaggiò per l'intera Europa ed ebbe modo di conoscere alcuni dei più importanti scienziati dell'epoca, come il matematico ed astronomo Johannes Schöner e l'astronomo ed astrologo Johannes Stöffler.

Recatosi nel 1539 a Frombork, sul mar Baltico, per conoscere di persona Niccolò Copernico, vi restò due anni per studiare approfonditamente la teoria eliocentrica. Scrisse allora l'opera De libris revolutionum Copernici narratio prima, stampata anonima a Danzica nel 1540 e ristampata a Basilea l'anno successivo con l'indicazione dell'autore. Quest'opera fu la prima esposizione a stampa delle idee copernicane di cui circolava, però, da alcuni decenni una breve esposizione manoscritta il Commentariolus. Nel 1542, inoltre, curò la prima pubblicazione del De lateribus et angulis triangulorum ("Sui lati e gli angoli dei triangoli"); un lavoro di Copernico che l'anno successivo fu inserito nel suo De revolutionibus. Nel maggio, inoltre si recò a Norimberga per curare la stampa dell'opera di Copernico, ma dopo pochi mesi dovette partire per Lipsia, dove aveva ottenuto un incarico di insegnamento universitario. 

Per quanto riguarda Nicolò Copernico (19 febbraio 1473, Torino – 24 maggio 1543, Frombork)  è importante sottolineare che è stato un astronomo, matematico e presbitero polacco; laureato in diritto canonico presso l'Università di Ferrara nel 1503, è famoso per aver propugnato, difeso e alla fine definitivamente promosso l'evidenza eliocentrica contro il geocentrismo fino ad allora sostenuto nel mondo cristiano. Benché non fosse stato il primo a formulare tale teoria, fu lo scienziato che più rigorosamente riuscì a dimostrarla tramite procedimenti matematici. Copernico fu anche ecclesiastico, giurista, governatore e medico.. Nicolò Copernico pubblica la sua unica opera, il De Revolutionibus Orbium caelestium, ovvero il trattato “Sulle rivoluzioni degli orbi celesti”, nel 1543, pochi mesi prima della sua morte. L’opera, divisa in sei libri, `e dedicata a Papa Paolo III. Il titolo fa riferimento a concetti dell’astronomia antica: per Copernico, il termine revolutio denota le rotazioni costanti e uniformi delle sfere celesti, chiamate anche “orbi”, le quali trascinano con s´e i pianeti.

Ma l’opera di Copernico `e in realt`a una vera e propria “rivoluzione” in molti settori della cultura del suo tempo: in astronomia (dove si scontra con il modello tolemaico che rappresentava da 14 secoli un paradigma cosmologico indiscusso ed indiscutibile) perch´e spiega elegantemente il movimento dei pianeti e apre il cammino alla conoscenza delle reali dimensioni del sistema solare; in filosofia (dove si scontra con gli assunti aristotelici) perch´e apre la mente ad una nuova concezione del mondo e dell’universo, del quale l’Uomo non occupa piu` “il centro”: in teologia, perch´e si scontra con l’interpretazione letterale dei testi sacri.

Copernico ´e perfettamente cosciente dei grandi cambiamenti che sta per introdurre, ma non `e in grado di intuirne per intero il significato, che trascende l’ambito stesso dell’astronomia.

L’ipotesi eliocentrica, fondamento della teoria copernicana, non era comunque un fatto nuovo, essendo gi`a stata formulata nel III sec. a.C. da Aristarco e ripresa nel tardo Medioevo da Grossatesta, Buridano e Oresme, ma `e solo in epoca rinascimentale che trova terreno culturale fertile per affermarsi, seppure tra molte difficoltà.

Il sistema copernicano

Il sistema copernicano può sintetizzarsi nelle seguenti affermazioni:

1. il centro della Terra non `e il centro dell’Universo, ma solo il centro della massa terrestre e dell’orbita della Luna

2. tutti i pianeti si muovono lungo orbite il cui centro `e il Sole, che quindi `e al centro dell’Universo

3. la distanza fra la Terra ed il Sole, paragonata alla distanza fra la Terra e le stelle del Firmamento, `e infinitamente piccola

4. il movimento del Sole durante il giorno `e solo apparente, e rappresenta l’effetto di una rotazione che la Terra compie intorno al proprio asse durante le 24 ore, rotazione sempre parallela a s´e stessa

5. la Terra (insieme alla Luna, ed esattamente come gli altri pianeti) si muove intorno al Sole, ed i movimenti che questo sembra compiere (durante il giorno e nelle diverse stagioni dell’anno) altro non sono che l’effetto del reale movimento della Terra

6. i movimenti della Terra e degli altri pianeti intorno al Sole possono spiegare le stazioni (punti di fermata apparente), le stagioni e le altre particolarit`a dei movimenti planetari.

Copernico fonda queste sue affermazioni su tre postulati filosofici fondamentali, di evidente origine neoplatonica:

• l’Universo ha forma sferica

• la Terra ha forma sferica

• i moti dei pianeti devono essere composti da moti circolari uniformi.

Egli non può ammettere la mancanza di uniformità perché “l’intelletto indietreggia con orrore, essendo indegno di sostenere una tale veduta intorno ai corpi, che sono costituiti nell’ordine più perfetto.” Ecco, quindi, l’importanza della sfera e della circonferenza, simboli filosofici di perfezione, che rappresentano la linea guida del suo lavoro. Un altro punto fondamentale `e la ricerca della semplicità teorica che lo porta a pensare che debba essere la Terra a ruotare attorno a se stessa, piuttosto che tutta la sfera celeste, anche se ci`o sembra essere in contrasto con l’apparenza fondata sul senso comune. Del resto, le principali obiezioni di Copernico all’ipotesi tolemaica dell’immobilità della Terra hanno come base delle conoscenze fisiche che i Greci antichi non potevano possedere. Vediamole in dettaglio:

La cosmologia copernicana

Figura 1.1: Il Sole e i pianeti secondo il modello eliocentrico copernicano.

Tolomeo affermava che se la Terra fosse in movimento, un oggetto lanciato in aria sarebbe ricaduto più indietro rispetto al punto di lancio. A questa conclusione Copernico obietta che il moto di un oggetto lanciato in aria `e dato da due componenti: una componente verticale dovuta al lancio verso l’alto, e una componente orizzontale dovuta al movimento rotatorio della Terra. Un oggetto ricade lungo la verticale esattamente nel punto di lancio per il semplice fatto che noi stessi partecipiamo alla componente orizzontale del moto, causato dalla rotazione terrestre, e poiché tale moto è condiviso con tutti gli oggetti sulla superficie terrestre, non ce ne possiamo accorgere anche se è sempre presente.

Tolomeo inoltre supponeva che se la Terra ruotasse attorno a se stessa avrebbe dovuto disintegrarsi per l’elevata velocità. A questa osservazione Copernico risponde facendo osservare quanto maggiormente dovrebbe disintegrarsi la sfera delle stelle fisse, dato che le stelle, essendo molto distanti, dovrebbero muoversi con una velocità di rotazione molto più elevata di quella della Terra.

La teoria eliocentrica, afferma infine Copernico, spiega in maniera più semplice alcune caratteristiche incomprensibili del moto dei pianeti sugli epicicli. Ad esempio, secondo Tolomeo, i pianeti esterni, e solo loro, dovevano compiere un giro sui loro epicicli nello stesso tempo impiegato dal Sole per girare attorno alla Terra (e questo perché , da un giorno con l’altro, la loro posizione in cielo varia di pochissimo). Ma perché  questa particolarità? Copernico, posizionando il Sole al centro, dimostra che le strane caratteristiche dei moti planetari sono semplicemente una conseguenza del moto terrestre. Inoltre, mettendo la Terra al terzo posto nella sequenza delle distanze planetarie dal Sole (cioè tra Venere e Marte) gli risulta possibile dividere i pianeti in due insiemi ben distinti: pianeti interni (Mercurio e Venere) e pianeti esterni (Marte, Giove e Saturno). Viene in questo modo chiarito in modo semplice l’inspiegabile necessità tolemaica di differenziare il meccanismo degli epicicli di questi due gruppi di pianeti. E’ qui che si evidenzia la più consistente semplificazione introdotta dal sistema copernicano rispetto a quello tolemaico.

In realtà  Copernico non può ancora sapere che le orbite planetarie non sono effettivamente circolari e che i moti dei pianeti non sono per niente uniformi.

Ed ´e proprio per questo motivo, cioè per fare in modo che il suo modello cosmologico rispecchi nel modo più preciso possibile la posizione in cielo dei pianeti anche dopo intervalli di tempo molto lunghi, che anche Copernico si vede costretto ad usare un sistema di epicicli ed eccentrici per spiegare quelle apparenti anomalie del moto planetario che anche la teoria eliocentrica originale non era in grado di interpretare alla perfezione. Il risultato finale di questo successivo lavoro di aggiustamento modifica il modello originale facendogli perdere gran parte di quella semplicità teorica che lo caratterizzava. In alcuni casi (es. il sistema Sole-Terra) lo schema eliocentrico risulta addirittura più complesso di quello tolemaico.

Il sistema copernicano non rappresenta il sistema cosmologico oggi noto: i suoi principali difetti consistono nel conservare ancora una struttura ad epicicli, e nel fatto che i moti dei pianeti (che nella realtà avvengono su orbite ellittiche), erano interpretati ancora attraverso composizioni di orbite assolutamente circolari. Soltanto con l’opera di Keplero si riuscirà finalmente a superare questo “pregiudizio” filosofico sulla necessità di avere moti necessariamente circolari.

 https://youtu.be/fc-Lr9w5xWg

Bibliografia e storiografia: 

Enciclopedia Treccani 

Wikipedia, enciclopedia libera

 qwe.wiki

Pdf "La cosmologia copernicana - Massimo Banfi"

Olivia Conversano, IIB