Matematica e Fisica: La trigonometria e Aristarco di Samo

LA TRIGONOMETRIA E ARISTARCO DI SAMO

La trigonometria (dal greco τρίγωνον, "triangolo" e -μετρία, "misura") è la branca della matematica che, insieme alla goniometria, che studia la misurazione degli angoli e delle funzioni a essi legate, si occupa delle funzioni trigonometriche e mette in relazione l’analisi matematica con la geometria piana. Il termine che designa la suddetta branca fu scelto dal matematico tedesco Bartholomaeus Pitiscus che nel 1595 intitolò un libro “Trigonometria, ovvero un trattato breve e intelligente sulla risoluzione dei triangoli”.

Copertina del trattato di B.Pitiscus “Trigonometria, ovvero un trattato breve

e intelligente sulla risoluzione dei triangoli”

La trigonometria ha come principale obiettivo la risoluzione del triangolo, ovvero il calcolo delle misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) a partire da altre misure note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di specifiche funzioni. La trigonometria è da considerarsi uno degli strumenti più efficaci del cosiddetto ‘calculus’, ovvero l’insieme delle fondamentali aree intorno a cui si sviluppa la matematica moderna: analisi matematica, geometria analitica e algebra lineare. Prima dell’utilizzo dei logaritmi le formule trigonometriche permettevano la trasformazione dei prodotti in somme e quindi semplificavano i calcoli, ma anche le trasformazioni di rotazione e rototraslazione. Pertanto la trigonometria diventa la chiave d’accesso alla cinematica e alla dinamica.

La trigonometria è in origine la parte matematica dell’astronomia, come si sviluppa nell’ambito della matematica greca ellenistica; si sviluppò nel tempo attraverso le implicazioni pratiche con diverse scienze sperimentali:

-topografia e geodesia: calcolo della distanza fra due punti accessibili ma non visibili tra loro, fra due visibili ma uno non accessibile, calcolo dell’altezza di una torre o di una montagna rispetto al piano orizzontale dell’osservatore, misurazione del raggio della Terra o risoluzione del problema di Snellius-Pothenot (esso consiste nel determinare la posizione di un punto P rispetto a tre punti dati A, B e C in modo che essi siano complanari).

-astronomia: calcolo della distanza dal pianeta Terra al Sole, alla Luna, il raggio della Terra e anche per misurare la distanza tra i pianeti.

-geografia: calcolo delle distanze su mappe: cioè si usano meridiani e paralleli per misurare la lunghezza

-medicina: lettura degli elettrocardiogrammi attraverso le funzioni seno e coseno

-fisica: misura della traiettoria di un oggetto: cercando un angolo e avendo un punto ben definito dove è mirato, è possibile calcolare la traiettoria della palla, o di un razzo o di un proiettile.

calcolo dell'altezza di una torre calcolo di una traiettoria

La trigonometria si avvale di alcune funzioni fondamentali dette funzioni trigonometriche, o funzioni goniometriche, o funzioni circolari importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici, oltre a molte altre applicazioni, tra cui le sopracitate. Prendendo in considerazione la circonferenza goniometrica e un angolo orientato α, e sia P il punto della circonferenza associato ad α, definiamo coseno e seno dell’angolo α, e indichiamo con cos α e sin α, le funzioni che ad α associano, rispettivamente, il valore dell’ascissa e quello dell’ordinata del punto P.

circonferenza goniometrica e funzioni

La funzione tangente, invece, che indichiamo con tan α, associa il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa del punto P: tan α = sin α / cos α. Le funzioni reciproche di sin α, cos α e tan α sono rispettivamente le funzioni cosecante (csc α= 1 / sin α), secante (sec α= 1 / cos α) e cotangente (cot α= 1 / tan α). Le funzione inverse di sin a, cos a e tan a sono invece rispettivamente le funzioni arcoseno (arcsin), arcocoseno (arccos) e arcotangente (arctan). Le funzioni seno e coseno possono essere espresse tramite due grafici: la sinusoide per il seno e la cosinusoide per il coseno (illustrati qui sotto).

I primordi dello studio della trigonometria risalgono all’epoca della civiltà egizia, che si avvaleva della trigonometria in campo architettonico, ma un poderoso contributo fu apportato da babilonesi, greci, indiani e arabi.

E’ sicuramente da considerarsi focale lo studio effettuato a riguardo proprio da un astronomo greco: ARISTARCO DI SAMO.

Aristarco di Samo in un dipinto seceintesco

Statua di Aristarco di Samo, università ‘Aristotele’ di Salonicco

Aristarco di Samo (in greco antico: Ἀρίσταρχος ὁ Σάμιος) nacque a Samo nel 310 a.C e morì sempre in loco nel 230 a.C. In vita fu astronomo, matematico e fisico. Studiò ad Alessandria d’Egitto ed ebbe come maestro Stratone di Lampsaco.

L’unica opera di Aristarco che ci è pervenuta è il trattato "Sulle dimensioni e distanze del Sole e della Luna", ma le fonti indicano che fu il primo sostenitore della tesi eliocentrica. Probabilmente le sue opere non ebbero un gran successo, ecco perché non molto è giunto a noi riguardo i suoi testi o la sua vita. Al suo insuccesso contribuì la portata innovativa delle sue teorie, non comprese dai contemporanei.La maggior parte delle informazioni su di lui provengono da alcuni scrittori classici come Archimede e Plutarco.

Archimede dice di lui ne L’Arenario:

« Aristarco ha pubblicato un libro contenente certe ipotesi da cui appare, come conseguenza delle assunzioni fatte, che l'universo è molte volte più grande dell'universo appena citato. Le sue ipotesi sono che il sole e le stelle fisse restano ferme, che la terra gira intorno al sole sulla circonferenza di un cerchio di cui il sole occupa il centro, e che la sfera delle stelle fisse, situata intorno allo stesso centro, è così grande che il cerchio in cui egli suppone che la terra si muova dista dalle stelle fisse tanto quanto il centro della sfera dista dalla sua superficie »

Secondo Plutarco, inoltre, Aristarco era un seguace di Eraclide Pontico (filosofo e astronomo greco) che pensava che la rotazione diurna delle stelle fisse fosse dovuta alla rotazione della Terra sul suo asse.

Di Aristarco parla anche Vitruvio (I sec. d.C.), architetto e ingegnere romano, che lo cita nel ‘De Architectura’ tra coloro cui si devono invenzioni e risultati di particolare rilievo per lo sviluppo delle scienze e della tecnica.

E’ considerato un precursore di Copernico poiché sostiene una visione eliocentrica del cosmo. Una visione in cui il Sole, fermo, occupa il centro del sistema e Terra e Pianeti gli orbitano intorno, mentre la Luna orbita intorno alla Terra e le stelle sono fisse sullo sfondo. Per le sue teorie, non accettate ai tempi (come spiegato in precedenza), si diceva che fosse stato condannato per empietà e per ‘aver turbato il riposo di Estia’, cioè del fuoco divino racchiuso nella Terra. Leopardi scrisse di quest’avvenimento nella sua ‘Storia dell’astronomia’.

Erma di Aristarco di Samo conservata al British Museum

Ciò di cui si occupò principalmente Aristarco in campo trigonometrico e astronomico è la deduzione geometrica della distanza fra Terra e Sole sulla base delle osservazioni.

Egli partì dalle seguenti ipotesi:

alla Terra in modo che sia la Terra è una sfera;
il Sole è lontano, ma non troppo perché i suoi raggi colpiscano Terra e Luna con angoli diversi
la Luna orbita intorno alla Terra in modo che sia possibile avere le eclissi

Quando la Luna è illuminata per metà forma con la Terra e il Sole un triangolo rettangolo

Aristarco procedette misurando l'angolo β compreso tra la direzione Terra-Sole e la direzione Terra-Luna e comprese così che si poteva calcolare il rapporto tra le loro distanze mediante ragionamenti di natura geometrica.

Supponendo che il diametro dell'ombra della Luna corrisponda a quello della Terra, il diametro della Luna dovrebbe essere la metà del diametro terrestre. Aristarco cercò di osservare il momento esatto in cui metà della Luna veniva illuminata dal Sole. Affinchè questo avvenga occorre che l'angolo Terra-Luna-Sole sia esattamente 90 gradi. Conoscendo il moto del Sole lungo la sfera celeste, Aristarco fu anche in grado di individuare il punto P del cielo, sull'orbita lunare (vicino all'eclittica), che era esattamente a 90 gradi dalla direzione del Sole come visto dalla Terra.

Aristarco sapeva infatti che, se il Sole era molto lontano, la Luna al primo (o all'ultimo) quarto sarebbe stata anch'essa su questa linea. Stimò tuttavia che la direzione verso il quarto di Luna formasse un piccolo angolo α con la direzione verso P, circa 1/30 di angolo retto, cioè 3°. Anche geometricamente si osserva che l'angolo TSL (Terra-Sole-Luna) è uguale a 3°.

Se Rs è la distanza della Terra dal Sole e R_L quella dalla Luna, una circonferenza completa intorno al Sole alla distanza dalla Terra avrebbe una lunghezza di 2πRs (π = 3,14159...). La distanza R_L = TL è quindi pari a un arco di quella circonferenza, corrispondente a soli 3° cioè 1/120 della circonferenza completa. Ne segue che

LT/ST ~ sen 3°

Ma sen3°~1/19, per cui ST~19 LT (In realtà, oggi sappiamo che ST~ 388 LT)

Poichè 0 ‹ α ‹ β ‹ π /2 , segue che

sen α ‹ α ‹ tg α e sen β ‹ β ‹ tg β

per cui

sen α /sen β › α / β › tg α /tg β

Aristarco sa che il Sole e la Luna si vedono dalla Terra sotto lo stesso angolo (circa 30°) , dunque

Rs ~ 19 R_L

Infine, egli dimostra che

19/60 ‹ R_L/R_T ‹ 43/108

19 /3 ‹ R_S/R_T ‹ 43/6

Le misurazioni compiute da Aristarco erano imprecise. L’angolo α, invece di essere di 3°, è in realtà così piccolo (circa 20 volte più piccolo) che Aristarco non poteva essere in grado di valutarlo, specialmente senza un telescopio. L'effettiva distanza del Sole è così circa 400 volte quella della Luna, non 19 volte, e quindi il diametro del Sole è circa 400 volte quello della Luna e più di 100 volte quello terrestre. Che il Sole sia però enormemente più grande della Terra, che è la conclusione principale tratta, rimane tuttora valido. Aristarco poteva anche dire che l'angolo α era al massimo 3°, nel qual caso il Sole sarebbe stato come minimo 19 volte più lontano della Luna, e il suo diametro come minimo 19/3 volte quello della Terra. In realtà egli disse così, ma sostenne anche che era minore di 43/6 volte rispetto a quello terrestre (i Greci usavano le frazioni semplici, non conoscendo i decimali), e questo valore si rivelò completamente errato, essendo il Sole molto più grande della Terra.

Aristarco per misurare gli angoli ebbe bisogno di un particolare strumento, oggi conosciuto con il nome di diottria di Ipparco.