Matematica e Fisica

STORIA DELLA TRIGONOMETRIA, LAZARE CARNOT

La Trigonometria, insieme alla Goniometria, é la branca della matematica che studia le funzioni trigonometriche e mette in relazione la Geometria Piana con l' Analisi Matematica, fornendo un approccio analitico allo studio della Geometria. Nello specifico la Goniometria studia gli angoli in relazione agli archi associati ad essi, le funzioni angolari e le proprietà algebriche che le caratterizzano; la Trigonometria d'altra parte ha per oggetto le relazioni che intercorrono tra gli angoli e i lati di un triangolo qualsiasi. Le funzioni trigonometriche o funzioni goniometriche o funzioni circolari sono funzioni di un angolo; esse sono importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici, oltre a un gran numero di altre applicazioni. Nell'uso corrente, vi sono sei funzioni trigonometriche che sono : Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante, Cosecante.

(immagine proveniente da it.m.wikipedia.org)

I grafici delle funzioni trigonometriche: coseno (verde), seno (blu), tangente (rosso), cosecante (giallo), secante (viola), cotangente (celeste).

(immagine proveniente da sites.google.it)

Lazare Nicolas Marguérite Carnot (Nolay, 13 maggio 1753 – Magdeburgo, 2 agosto 1823) contribuì sicuramente allo sviluppo della trigonometria e goniometria. Fu un generale, matematico, fisico e politico francese. Membro della Convenzione Nazionale e del Direttorio durante la Rivoluzione Francese. Svolse un ruolo politico di grande rilievo prima nel Comitato di salute pubblica e poi nel Direttorio soprattutto nell'ambito degli affari militari della Repubblica e venne soprannominato l'"Organizzatore della vittoria" per il suo ruolo decisivo nella costituzione delle armate rivoluzionarie e nella direzione delle operazioni belliche durante le guerre rivoluzionarie francesi. Durante la crisi del 9 Termidoro anno II si oppose a Maximilien Robespierre e fu il principale animatore all'interno del Comitato di salute pubblica della resistenza contro il capo giacobino. Pur assumendo posizioni politiche più moderate nel periodo termidoriano e durante il Direttorio, rimase sempre fedele all'ideale repubblicano e rimase in disparte durante il Consolato e l'Impero di Napoleone Bonaparte. È conosciuto anche come "il grande Carnot". Padre del fisico Nicolas Léonard Sadi Carnot e del politico Lazare Hippolyte Carnot. Nonno del futuro Presidente Marie François Sadi Carnot e del chimico Marie Adolphe Carnot. Fu autore del " Teorema del Coseno" ed è per questo che è e fu considerato tra i più importanti matematici delle funzioni trigonometriche e goniometriche.

(immagine proveniente da eoth.info)

Il Teorema del Coseno può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora nel caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francee Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète. Consiste in una formula per calcolare la misura di un lato di un triangolo qualsiasi a partire dalle misure degli altri due e dal coseno dell'angolo tra essi compreso. Il teorema enuncia: " In un triagolo qualsiasi il quadrato della misura di un lato è dato dalla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, meno il loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo tra essi compreso".

Dimostrazione con il Teorema di Pitagora:

(immagine proveniente eoth.info)

-Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AHB, si ha:

indica la lunghezza del segmento AB.

-Risolvendo il triangolo rettangolo AHC si ha anche:

-Vale inoltre:

-Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:

-Per la relazione fondamentale sin²γ+cos²γ=1, questa equazione può essere semplificata in:

-Nel caso di un triangolo rettangolo, ovvero con γ=90°, il quarto termine è nullo e si ricade nel teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo (γ>90°) la dimostrazione procede allo stesso modo, con la principale differenza che in questo caso: