La trigonometria e Leonhard Euler

La Trigonometria e Leonhard Euler

La trigonometria (dal greco τρίγωνον, "triangolo" e -μετρία, "misura"), insieme alla goniometria è la branca di matematica che studia le funzioni trigonometriche e mette in relazione la geometria piana con l'analisi matematica, fornendo un approccio analitico allo studio della geometria.                                                                       

Nella fattispecie la Goniometria studia gli angoli in relazione agli archi associati ad essi, le funzioni angolari e le proprietà algebriche che le caratterizzano; la Trigonometria d'altra parte ha per oggetto le relazioni che intercorrono tra gli angoli e i lati di un triangolo qualsiasi.

L'identità fondamentale della goniometria e trigonometria si verifica con il teorema di Pitagora.Le relazioni che intercorrono tra angoli e lati dei triangoli sono definite con l'ausilio di determinate funzioni dette goniometriche o trigonometriche. 

Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni 

vettoriali.

Leonhard Euler

Leonhard Euler, noto in Italia come          Eulero (Basilea, 15 aprile 1707 – 

San Pietroburgo, 18 settembre 1783), 

è stato un matematico e fisico svizzero.

È considerato il più importante matematico del Settecento, e uno dei quattro maggiori matematici della storia, gli altri tre essendo Archimede, Newton e Carl Friedrich Gauss. Solo a Newton ed a Euler, Gauss riservava il termine di summus. 

È noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi e ha fornito contributi storicamente cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi. Sembra che Pierre Simon Laplace abbia affermato "Leggete Eulero; egli è il maestro di tutti noi".

Il suo lavoro è caratterizzato da massicci ed audaci calcoli, da una straordinaria applicazione dell'analisi e dell'analogia, dal ricorso al suo infallibile istinto e da chiarezza nella scrittura. Dai tempi di Claudio Tolomeo, nessun geometra aveva dominato tutti i rami della matematica.

Contributi matematici di Eulero

Eulero introdusse moltissime notazioni in uso ancora oggi: tra queste, ${\displaystyle f(x)}$ per la funzione, l'attuale notazione per le funzioni trigonometriche come seno e coseno, e la lettera greca Σ per la sommatoria. Per primo usò la lettera ${\displaystyle e}$ per indicare la base dei logaritmi naturali, un numero reale che ora è appunto chiamato anche numero di Eulero, e la lettera i per indicare l'unità immaginaria. L'uso della lettera greca π per indicare pi greco, introdotto all'inizio del XVIII secolo da William Jones, diventò standard dopo l'utilizzo che ne fece Eulero.

Eulero diede importanti contributi allo studio dei numeri complessi. Scoprì quella che è oggi chiamata formula di Eulero, è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa:

${\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,.}$

Da questa ricavò l'identità di Eulero:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,.}$

Questa formula, ritenuta da Richard Feynman "la più bella formula di tutta la matematica", collega armoniosamente cinque numeri estremamente importanti: e, π, i, 1 e 0. Nel 1988, i lettori del Mathematical Intelligencer la votarono come "La più bella formula matematica di sempre". Inoltre Eulero era lo scopritore di tre delle cinque formule più votate.

Provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Caspar Wessel, Argand e Gauss.

La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale  si ha:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione e^ix nel piano complesso è un cerchio unitario, e x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.

Usando le proprietà esponenziali:

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}\qquad (e^{a})^{b}=e^{ab},}$

valide per tutti i numeri complessi a e b, si possono derivare facilmente da esse molte identità trigonometriche e la formula di de Moivre.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

${\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}=\cosh(ix),}$

${\displaystyle \sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}={1 \over i}\sinh(ix)={-i}\sinh(ix){.}}$

Queste formule possono anche essere usate come definizione delle funzioni trigonometriche per argomenti complessi ${\displaystyle x}$, e per mettere in relazione le funzioni iperboliche con le usuali funzioni trigonometriche.

Le due equazioni possono essere trovate sommando o sottraendo le seguenti formule di Eulero:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x}$

dove x è la fase, risolvendo poi le equazioni ottenute sia rispetto al seno sia rispetto al coseno.

Interpretazione geometrica della formula di Eulero sul piano complesso.

Analisi

L'analisi era il campo di studio principale del XVIII secolo e i Bernoulli, amici di Eulero, erano i principali esperti del settore. Scopo principale di Eulero era catturare l'infinito, effettuare operazioni ancora non ben formalizzate, quali somme e prodotti di un numero infinito di numeri. Benché tali operazioni fossero al tempo mancanti di una solida base formale (data oggi dal concetto di limite di una successione e dalla struttura assiomatica dei numeri reali) e le sue dimostrazioni non fossero quindi completamente rigorose, portarono comunque a numerosi risultati corretti che fecero fare all'analisi un grosso passo in avanti.

Per prima cosa Eulero introdusse il concetto di funzione, l'uso della funzione esponenziale e dei logaritmi. Trovò i modi di esprimere le varie funzioni logaritmiche in termini di serie e definì i logaritmi per i numeri complessi e negativi, espandendone notevolmente la portata.

Eulero calcolò quindi il risultato di un certo numero di serie importanti, anche se, come è stato accennato, a quel tempo il significato di "somma e/o prodotto di infiniti termini" non era ancora rigorosamente formalizzato. Ad esempio,

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+\cdots }$

Scoprì anche lo sviluppo dell'arcotangente

${\displaystyle \arctan z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}.}$

Nel 1735 risolse il Problema di Basilea:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Successivamente trovò la forma chiusa per la somma dell'inverso di ogni potenza pari. Definì così in modo implicito la funzione zeta di Riemann. Studiando questa funzione scoprì in seguito il Prodotto di Eulero e suggerì per primo la formula di riflessione per la funzione zeta. Dimostrò l'infinità dei numeri primi partendo dalla divergenza della serie armonica.

Una sorprendente serie di Eulero, che si potrebbe chiamare "serie armonica corretta", mette in relazione pi greco con gli inversi di tutti i numeri naturali:

${\displaystyle \pi ={1}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}\cdots }$

I segni dei termini, dopo i primi due, si determinano come segue:

• il denominatore è un numero primo del tipo (4m – 1): segno positivo;
• il denominatore è un numero primo del tipo (4m + 1): segno negativo;
• il denominatore è un numero composto: prodotto dei segni dei singoli fattori.

La sua convergenza è molto lenta, quindi non è adatta per i calcoli, ma rimane comunque tra le più eleganti delle serie che convergono a pi greco.

Grazie a questi risultati Eulero inoltre aprì la strada all'applicazione di metodi analitici nella teoria dei numeri: unì due rami disparati della matematica e introdusse un nuovo campo dello studio, la teoria analitica dei numeri. Nel secolo successivo questa sarebbe arrivata alla formulazione di importanti teoremi e alla formulazione dell'Ipotesi di Riemann.

Inoltre Eulero introdusse la Funzione gamma e un nuovo metodo per risolvere l'equazione di quarto grado. Trovò un metodo per calcolare gli integrali usando i limiti complessi. Introdusse la costante di Eulero-Mascheroni definita come:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}$

Infine, Eulero contribuì enormemente alla nascita del calcolo delle variazioni con le equazioni di Eulero-Lagrange.

Teoria dei numeri

Il grande interesse di Eulero alla teoria dei numeri fu acceso dal suo amico Christian Goldbach. Molto del suo lavoro sulla teoria dei numeri riguarda la dimostrazione (o confutazione) delle molte congetture di Pierre de Fermat.

Eulero provò la correlazione tra numeri primi e funzione zeta di Riemann scoprendo la formula prodotto di Eulero. Provò poi le identità di Newton, il piccolo teorema di Fermat, il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati e diede importanti contributi alla risoluzione del teorema dei quattro quadrati e alla comprensione dei numeri perfetti. Inventò la funzione phi di Eulero φ(n) che assegna a ogni numero naturale il numero di numeri minori di esso e coprimi a esso. Con questa funzione generalizzò il piccolo teorema di Fermat (teorema di Eulero). Eulero congetturò inoltre la legge della reciprocità quadratica.

Uno dei più grandi successi di Eulero in questo campo fu però la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat per il caso particolare in cui n=3, ossia la dimostrazione che la somma di due cubi non può essere uguale a un cubo. Questa dimostrazione è effettuata per discesa infinita e fa uso anche dei numeri complessi.

Teoria dei grafi e topologia

Mappa di Konigsberg con i sette ponti messi in evidenza.

Nel 1736 Eulero risolse il problema dei ponti di Königsberg. La città di Königsberg (ora Kaliningrad) è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti. La questione è se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza. Eulero dimostrò che la passeggiata ipotizzata non era possibile a causa del numero dispari di nodi che congiungevano gli archi (ossia delle strade che congiungevano i ponti). La soluzione di Eulero diede origine alla teoria dei grafi, che si sarebbe poi evoluta dando origine alla topologia.

Eulero introdusse poi la formula per i poliedri convessi che unisce il numero dei vertici V, degli spigoli S e delle facce F nella cosiddetta relazione di Eulero:

${\displaystyle V-S+F=2\!}$

Più in generale, il numero ${\displaystyle \chi =V-S+F}$ è una costante importante, definita per molti enti geometrici (ad esempio, per i poligoni è ${\displaystyle \chi =1}$), chiamata caratteristica di Eulero. Fu studiata da Cauchy (che tra l'altro diede la prima dimostrazione rigorosa della relazione di Eulero) ed estesa successivamente da Poincaré a molti oggetti topologici (quali ad esempio il toro, che ha ${\displaystyle \chi =0}$).

Geometria analitica

Eulero diede anche importanti contributi alla geometria analitica come la formulazione delle equazioni che descrivono il cono, il cilindro, e le varie superfici di rotazione. Dimostrò anche che la geodetica passante per due punti in una qualsiasi superficie si trasforma nella retta passante per quei due punti se la superficie viene appiattita. Fu il primo a considerare tutte le curve insieme senza una predilezione per le coniche e a studiare a fondo anche le curve generate da funzioni trascendenti come la sinusoide.

Svolse anche un importante lavoro di classificazione delle curve e delle superfici. Nell'Introductio in analysin infinitorum si trova poi una completa ed esauriente trattazione delle coordinate polari che vengono esposte nella forma moderna. Per ciò, ancora oggi, spesso si indica erroneamente Eulero come l'inventore di questo sistema di notazione.

Dimostrò anche un paio di semplici teoremi di geometria pura, come per esempio l'affermazione che il circocentro, il baricentro e l'ortocentro di un triangolo sono sempre allineati. In suo onore tale retta fu chiamata retta di Eulero.

Matematica applicata

Alcuni dei successi più grandi di Eulero furono nell'applicazione di metodi analitici a problemi reali, con l'uso di Diagrammi di Venn, numeri di Eulero, costanti, frazioni continue e integrali. Integrò il calcolo integrale di Leibniz con il metodo delle flussioni di Newton il che gli rese più facile risolvere alcuni problemi fisici. In particolare, contribuì allo studio dell'approssimazione degli integrali con vari risultati, tra cui il metodo di Eulero e la formula di Eulero-Maclaurin.

Teoria musicale

Fra i contributi meno noti di Eulero vi è anche un tentativo di formulare una teoria musicale su basi interamente matematiche. A questo è dedicato il suo trattato Tentamen novae theoriae musicae del 1739, e numerosi altri scritti. Questo lavoro si inserisce in un filone della ricerca matematica a cui avevano già contribuito Marin Mersenne e Cartesio, e che sarà successivamente ripreso da Jean d'Alembert, Hermann von Helmholtz e altri. Nel suo Elogio di Leonhard Euler (1783), il suo assistente Nikolaus Fuss definì quel trattato

«Un'opera profonda, piena di nuove idee presentate da un punto di vista originale; ciononostante non ha goduto di grande popolarità, poiché contiene troppa geometria per i musicisti, e troppa musica per i matematici.»

Fisica e astronomia

Eulero contribuì a sviluppare l'equazione di fascio di Eulero-Bernoulli, una pietra miliare dell'ingegneria. Eulero non solo risolse con successo molti problemi fisici, ma ebbe l'idea di applicare le stesse tecniche alla meccanica celeste. Realizzò vari lavori astronomici quali la determinazione esatta delle orbite delle comete e di altri corpi celesti, e il calcolo della parallasse del Sole. Fu anche l'autore delle equazioni di Eulero in fluidodinamica.

Opere

Le opere di Eulero a noi pervenute sono:

• Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736)
• Tentamen novae theoriae musicae (1739)
• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)
• Dissertatio de magnete (1743)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744)
• Introductio in analysin infinitorum (1748)
• Institutiones calculi differentialis (1755)
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)
• Institutionum calculi integralis (1768-1770)
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1770)
• Lettres à une Princesse d'Allemagne (1768-1772)
• Theoria motuum lunae (1772)

Sitografia:

• https://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria Wikipedia - Trigonometria/Goniometria
• https://www.youmath.it/formulari/65-formulari-di-trigonometria-logaritmi-esponenziali.html YouMath - Trigonometria
• https://it.wikipedia.org/wiki/Eulero Wikipedia - Eulero
• http://www.treccani.it/enciclopedia/leonhard-euler/  Enciclopedia Treccani - Eulero

Arianna Giaffreda, IIB